Wie Bestimmt Man Die Definitionsmenge Eines Wurzelterms

Grafische Darstellung der Quadratwurzel-Funktion ${\displaystyle y={\sqrt {10}}}$

In der Mathematik versteht homo unter Wurzelziehen oder Radizieren dice Bestimmung der Unbekannten ${\displaystyle x}$ in der Potenz

${\displaystyle a=x^{n}\,}$

Hierbei ist ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl (meist größer als 1) und ${\displaystyle a}$ ein Chemical element aus einem Körper (häufig eine nichtnegative reelle Zahl). Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet human als Wurzel oder Radikal (von lat. radix „Wurzel"). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens.^{[1] [2]} Im Autumn ${\displaystyle n=2}$ spricht homo von Quadratwurzeln, bei ${\displaystyle n=3}$ von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert, im Beispiel ist ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$ die Wurzel bzw. das Radikal.

Definition, Sprech- und Schreibweisen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ${\displaystyle due north\geq one}$ eine natürliche Zahl. Ist ${\displaystyle a}$ eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung

${\displaystyle x^{north}=a}$

genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als ${\displaystyle northward}$ -te Wurzel aus ${\displaystyle a}$ bezeichnet. Man schreibt dafür:

${\displaystyle ten={\sqrt[{north\,}]{a}}}$

Hierbei bezeichnet man

Im Spezialfall ${\displaystyle n=one}$ erhält man ${\displaystyle {\sqrt[{i\,}]{a}}=a}$ .

Quadrat- und Kubikwurzel [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als dice Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt[{2}]{a}}}$

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als Kubikwurzel.

Beispiel:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=two}$

(Sprich: Die dritte Wurzel aus 8 ist two oder Dice Kubikwurzel aus 8 ist 2)

Mathematische Grundlagen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dice folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen, likewise gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt.^[5]

Zusammenhang mit Potenzen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten ${\displaystyle north}$ und das Potenzieren mit dem Exponenten ${\displaystyle n}$ heben sich gegenseitig auf.
Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen ${\displaystyle a\geq 0}$ und für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n\geq one}$ :

${\displaystyle {\big (}{\sqrt[{north}]{a}}{\big )}^{n}=a}$  .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten ${\displaystyle n}$ wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten ${\displaystyle {\tfrac {ane}{north}}}$ .
Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:

${\displaystyle \left(a^{\frac {ane}{north}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{northward}}=a^{ane}=a}$  .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten northward auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/north interpretiert werden:^[two]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$  .

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen ${\displaystyle {\sqrt[{}]{\color {White}1}}}$ grundsätzlich für die positive Lösung.^{[6] [seven]} Beispielsweise lid die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=4}$ die beiden Lösungen ${\displaystyle 10=+2}$ und ${\displaystyle ten=-2}$ . Der Term ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{four}}}$ hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

${\displaystyle {\sqrt[{2n}]{10^{2n}}}=|ten|}$ , insbesondere ${\displaystyle {\sqrt {x^{two}}}=|x|}$ .

Wurzeln aus negativen Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es aureate beispielsweise

${\displaystyle (-ii)^{three}=-8\,,}$

und ${\displaystyle -ii}$ ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz ${\displaystyle -8}$ ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:

${\displaystyle {\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{-a}}=-\,{\sqrt[{2n\;\!\!+\;\!\!1}]{\ a}}}$ .

Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist

${\displaystyle -ii={\sqrt[{iii}]{-8}}\neq {\sqrt[{half dozen}]{(-8)^{two}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}$

Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung ${\displaystyle {\sqrt[{grand}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\correct)}$ , da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ( ${\displaystyle a}$ darf likewise nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ , sodass ${\displaystyle x^{2}=-1}$ , somit kann man auch keine Wurzel ${\displaystyle ten={\sqrt[{two}]{-1}}}$ finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen;^[8] allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ${\displaystyle north}$ eine nichtnegative ganze Zahl und ${\displaystyle yard}$ eine positive ganze Zahl, and so ist ${\displaystyle {\sqrt[{chiliad}]{n}}}$ entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das beweist man durch Anwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist ${\displaystyle due north\leqq ane}$ , and then ist ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{due north}}=northward}$ , also eine ganze Zahl. Sonst gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung ${\displaystyle north=p_{i}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}}}$ mit paarweise verschiedenen Primzahlen ${\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}}$ und positiven ganzen Exponenten ${\displaystyle e_{ane},\dotsc ,e_{r}}$ . Sind alle ${\displaystyle e_{j}}$ für ${\displaystyle 1\leqq j\leqq r}$ durch ${\displaystyle k}$ teilbar, and then ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{one}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/m}}$ , also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein ${\displaystyle j}$ mit ${\displaystyle 1\leqq j\leqq r}$ , then dass ${\displaystyle e_{j}}$ nicht durch ${\displaystyle yard}$ teilbar ist, so ist ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, besides durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall ${\displaystyle n=k=2}$ dieses Beweises ist.

Angenommen, ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}}$ wäre rational. Dann könnte human being die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ schreiben:

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}={\frac {a}{b}}}$ .

Durch Potenzieren der Gleichung erhält man

${\displaystyle n={\frac {a^{k}}{b^{k}}}}$

und daraus folgt

${\displaystyle nb^{thousand}=a^{k}}$ .

Der Primfaktor ${\displaystyle p_{j}}$ kommt in ${\displaystyle a^{k}}$ bzw. ${\displaystyle b^{k}}$ jeweils ${\displaystyle thousand}$ -mal so oft vor wie in ${\displaystyle a}$ bzw. ${\displaystyle b}$ , jedenfalls in einer durch ${\displaystyle thousand}$ teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In ${\displaystyle n}$ kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch ${\displaystyle k}$ teilbaren Vielfachheit ${\displaystyle e_{j}}$ vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch ${\displaystyle k}$ teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{northward}}}$ irrational.

Die Wurzelgesetze [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dice Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle n,m,k\in \mathbb {North} }$ gelten die folgenden Rechengesetze:

Bei negativen Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle northward}$ ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden, bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, and then gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die dice Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten die folgenden Grenzwerte:

Dies folgt aus der Ungleichung ${\displaystyle n<\left(1+{\sqrt[{2}]{\tfrac {2}{n}}}\right)^{n}}$ , die human mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

wie aus der Exponentialdarstellung von ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{n}}}$ hervorgeht.

Wurzelfunktionen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionen der Grade

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{north}]{x}}}$ oder allgemeiner ${\displaystyle 10\mapsto {\sqrt[{n}]{x^{thou}}}}$

heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Potenzfunktionen, es gilt ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{10^{thousand}}}=x^{\frac {m}{northward}}}$ .

Berechnung [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wurzeln können durch schriftliches Wurzelziehen bestimmt werden. Dieses Verfahren ähnelt der schriftlichen Division und basiert auf den binomischen Formeln. Es wurde bis in die 1960er Jahre am Gymnasium noch gelehrt, ist heute jedoch von geringer praktischer Bedeutung.

Rückführung auf andere Funktionen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen ${\displaystyle x}$ kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus ausdrücken:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{i/n}=\exp \left({\frac {\ln(x)}{n}}\right)}$

Numerische Berechnung [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann human mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehört vor allem das Newtonverfahren, mit dem man iterativ zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung ${\displaystyle f(ten)=0}$ findet. Dazu wird beginnend mit einem Startwert ${\displaystyle x_{0}}$ die Folge

${\displaystyle x_{i+ane}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}}$

gebildet, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen eine Nullstelle von ${\displaystyle f}$ konvergiert. Nun ist ${\displaystyle 10={\sqrt[{n}]{a}}}$ eine Nullstelle der Funktion ${\displaystyle f(x)=ten^{n}-a}$ , so dass der Iterationsschritt die Gestalt

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {f(x_{i})}{f'(x_{i})}}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{north}-a}{nx_{i}^{due north-1}}}}$

bekommt. Der Teilausdruck ${\displaystyle \delta _{i}=(x_{i}^{n}-a)/nx_{i}^{northward-1}}$ ist dabei die accented Änderung der Näherung bei diesem Iterationsschritt, ${\displaystyle \delta _{i}/x_{i}}$ die relative. Diese Werte werden am Ende des Schrittes mit der absoluten (bei Festkommarechnung) bzw. relativen (bei Gleitkommarechnung) Fehlerschranke verglichen, um zu entscheiden, ob dice benötigte Genauigkeit schon erreicht wurde.

In den Spezialfällen ${\displaystyle n=2}$ (Quadratwurzel) und ${\displaystyle north=3}$ (Kubikwurzel) lauten diese Formeln dann:

${\displaystyle x_{i+i}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{two}-a}{2x_{i}}}}$ für ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\frac {x_{i}^{3}-a}{3x_{i}^{2}}}}$ für ${\displaystyle n=three}$ .

Das Verfahren konvergiert für alle Startwerte ${\displaystyle x_{0}>0}$ , wobei Startwerte, dice Größenordnungen unter der Wurzel liegen, vermieden werden sollten. Liegt ${\displaystyle a}$ als Gleitkommazahl vor, kann homo einfach den Gleitkommaexponenten ${\displaystyle s}$ durch ${\displaystyle \lceil {\tfrac {s}{north}}\rceil }$ ersetzen.

Das Newtonverfahren zur numerischen Approximation der Wurzel erweitert das Heron-Verfahren auf höhere Grade und lässt sich wie folgt geometrisch interpretieren. Beim Heron-Verfahren wird von einem Schätzwert für den Wert der gesuchten Quadratwurzel als erster Rechteckseite ausgegangen und daraus eine zweite Seite ermittelt, dice ein zum Radikanden flächengleiches Rechteck liefert. Als nächster Schätzwert wird dann iterativ der Mittelwert der beiden Seiten genommen, der näher am Ergebnis liegt. Für die Übertragung auf allgemeine Grade ${\displaystyle north}$ kann human den nächsten Iterationswert

${\displaystyle x_{i+1}:=x_{i}-{\frac {x_{i}^{n}-a}{nx_{i}^{n-1}}}={\frac {(n-1)x_{i}+{\frac {a}{x_{i}^{northward-1}}}}{northward}}}$

als gewichteten Mittelwert von ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle H={\tfrac {a}{x_{i}^{n-i}}}}$ auffassen mit ${\displaystyle H}$ als der „Höhe" des ${\displaystyle north}$ -dimensionalen senkrechten Prismas des Volumens ${\displaystyle a}$ über dem ${\displaystyle (northward-one)}$ -dimensionalen Kubus ${\displaystyle x_{i}^{n-1}}$ . Der Iterationswert ist somit der arithmetische Mittelwert aller n orthogonalen (davon n-ane gleich langen) Kanten des Prismas.

Methode der „Rechenkünstler" [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann, wie es Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie bestimmen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und dice letzte Ziffer der Zahl:

1 1 8 2 27 three 64 iv 125 5 216 6 343 7 512 8 729 9 ane.000 10

1.000 ten 8.000 twenty 27.000 thirty 64.000 40 125.000 fifty 216.000 60 343.000 seventy 512.000 80 729.000 xc i.000.000 100

Beispiele:

• Dice dritte Wurzel von 103.823:
  Dice Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss dice Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, demnach ist dice dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
• Die dritte Wurzel von 12.167:
  Dice Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Dice letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist dice dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn sichergestellt ist, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um dice dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Bei den Aufgaben der Rechenkünstler geht es natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel die Berechnung der 25. Wurzel aus 880.794.982.218.444.893.023.439.794.626.120.190.780.624.990.275.329.063.400.179.824.681.489.784.873.773.249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.

Wurzeln aus komplexen Zahlen [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die fünf fünften Wurzeln aus 1 + i√iii = 2 · east^{π · i/iii}

Dice komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ werden definiert durch die Adjunktion ${\displaystyle \mathbb {C} :=\mathbb {R} (\mathrm {i} )}$ der Lösung (Wurzel) ${\displaystyle \mathrm {i} :={\sqrt {-i}}}$ der Gleichung ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ zu den reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Fasst human being die komplexen Zahlen als Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ auf, in der die reellen Zahlen als eine ausgezeichnete Gerade ${\displaystyle \mathbb {R} \times {0}}$ die Ebene in zwei Halbebenen teilt und die positiven Zahlen sich rechts befinden, dann wird die Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ in dice obere und ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ in dice untere Halbebene platziert. Gleichzeitig mit dieser Orientierung wird der Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ durch die Funktion ${\displaystyle \mathrm {east} ^{\mathrm {i} \varphi }}$ für wachsendes reelles ${\displaystyle \varphi }$ im mathematisch positiven Sinn (also entgegen dem Uhrzeigersinn) umlaufen, and so dass ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {due east} ^{\pm {\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} }$ ist. Mit dieser Maßgabe lassen sich inhärent mehrdeutige Wurzeln im Komplexen auf eindeutige Real- und Imaginärteile (Hauptwerte) festlegen. Gleichwohl ist bei der Anwendung der Wurzelgesetze die dort erwähnte Sorgfalt zu beachten.

Als die ${\displaystyle n}$ -ten Wurzeln einer komplexen Zahl ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ bezeichnet human die Lösungen der Gleichung

${\displaystyle z^{n}=a}$ .

Ist ${\displaystyle a\neq 0}$ in der Exponentialform ${\displaystyle a=|a|\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}$ dargestellt, and so sind die ${\displaystyle n}$ -x Wurzeln aus ${\displaystyle a}$ genau dice ${\displaystyle north}$ komplexen Zahlen

${\displaystyle z_{k}={\sqrt[{n}]{|a|}}\cdot \exp \left({\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}+yard\cdot {\frac {2\pi \mathrm {i} }{due north}}\right)\quad (k=0,1,\dots ,n-ane)}$

Der Sonderfall ${\displaystyle a=1}$ wird als ${\displaystyle n}$ -te Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als ${\displaystyle n}$ -te Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung" erklärt sich, wenn human being ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die ${\displaystyle northward}$ -ten Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius ${\displaystyle i}$ und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in ${\displaystyle north}$ gleiche Teile, sie bilden dice Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären ${\displaystyle n}$ -Ecks.

Anders als bei reellen Zahlen kann human being nicht and so einfach eine der Wurzeln als dice Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) ${\displaystyle n}$ -te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, dice keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:

${\displaystyle z^{1/n}=\exp {\frac {\ln z}{due north}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\})}$

Dice so ausgezeichnete Wurzel bezeichnet man auch als Hauptwert, die anderen als Nebenwerte.

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf dice negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise ${\displaystyle {\sqrt[{three}]{-8}}=ii\,\exp {{\bigl (}\mathrm {i} \,{\tfrac {\pi }{3}}{\bigr )}}=1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$ und nicht ${\displaystyle =-ii}$ .

Dies lässt sich vermeiden mit der Auszeichnung derjenigen Wurzel unter allen, deren Statement ${\displaystyle \arg({\sqrt[{n}]{z}})}$ modulo ${\displaystyle \pi }$ den absolut kleinsten Rest liefert. Bei Gleichheit zweier Werte ist dann der in der rechten (positiver Realteil) und der in der oberen Halbebene (positiver Imaginärteil) auszuwählen. Diese Regel ist mit den oben aufgestellten Regeln für reelle Radikanden voll kompatibel. Einige Beispiele:

${\displaystyle {\sqrt[{2}]{-1}}=+\mathrm {i} \qquad \qquad {\sqrt[{three}]{-i}}=-1\qquad \qquad {\sqrt[{4}]{-1}}={\frac {{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {ii}}}{ii}}}$

Als weiteres Beispiel sei ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-\mathrm {i} }}}$ angegeben:

Obwohl		${\displaystyle \mathrm {i} ^{3}=-\mathrm {i} }$	und	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{ii}}{\biggr )}^{3}=-\mathrm {i} }$	und	${\displaystyle {\biggl (}{\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}{\biggr )}^{3}=-\mathrm {i} ,}$
ist		${\displaystyle \mathrm {i} }$	${\displaystyle \neq }$	${\displaystyle {\sqrt[{iii}]{-\mathrm {i} }}={\frac {{\sqrt {three}}-\mathrm {i} }{2}}}$	${\displaystyle \neq }$	${\displaystyle {\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}}$	mit den absoluten Resten ${\displaystyle {\text{modernistic }}\pi }$
des Arguments		${\displaystyle |\arg(\mathrm {i} )|={\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle >}$	${\displaystyle {\biggl |}\arg {\frac {{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}{\biggr |}={\frac {\pi }{half-dozen}}}$	${\displaystyle \equiv }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{half dozen}}-\pi =\arg {\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{ii}}{\text{ mod }}\pi ,}$

weil die mittlere Wurzel ${\displaystyle {\frac {{\sqrt {iii}}-\mathrm {i} }{2}}}$ bei dem gleichen absoluten Rest ${\displaystyle {\text{modern }}\pi }$ einen positiven Realteil hat.

Außerdem bleiben bei dieser Definition dice Wurzelgesetze für viele Wurzelexponenten auch bei komplexen Radikanden erhalten, solange für die so ausgewählten Wurzeln dice Summen der Reste modulo ${\displaystyle \pi }$ der Argumentwerte absolut unterhalb ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{two}}}$ bleiben.

Literatur [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. vii. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2009, ISBN 978-3-8171-1836-half-dozen. Kapitel zur Wurzelrechnung mit Erklärungen, Beispielen und Aufgaben (PDF; 523 kB).

Siehe auch [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal
• Würfelverdoppelung, Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2

Weblinks [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wiktionary: Radikand – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Die andere Umkehrung ist das Logarithmieren.
2. ↑ ^{a b} T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 46–47.
3. ↑ Der Wurzelexponent ${\displaystyle northward}$ beim Radizieren entspricht dem Logarithmus beim Logarithmieren und dem Exponenten beim Potenzieren. Der Radikand ${\displaystyle a}$ entspricht dem Numerus (Logarithmand) beim Logarithmieren und dem Ergebnis des Potenzierens
4. ↑ Lothar Kusch: Mathematik. Ring 1: Arithmetik. Algebra, Reihenlehre, Nomographie. W. Girardet, Essen 1975, ISBN 3-7736-2755-6, S. 162 f.
5. ↑ Für die Schwierigkeiten mit der Rechtseindeutigkeit s. a. den § Wurzeln aus komplexen Zahlen.
6. ↑ DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
7. ↑ EN ISO 80000-2:2020 Größen und Einheiten – Teil two: Mathematik
8. ↑ T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 122.

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)

Share this post